คณิตศาสตร์กับดนตรี

คณิตศาสตร์กับดนตรี

ดนตรีเป็นสิ่งที่เข้ามาผูกพันกับชีวิตประจำวันของมนุษย์ มนุษย์ได้ยินเสียงจากธรรมชาติ และดัดแปลงนำเอาอุปกรณ์จากธรรมชาติมาสร้างเสียงดนตรี และยังพยายามเลียนแบบการสร้างสัญญาณเสียงดนตรีโดยใช้เทคโนโลยีสมัยใหม่ เช่น การใช้อิเล็กทรอนิกส์สร้างสัญญาณเสียงโดยตรง            เครื่องดนตรีที่ใช้มีทั้งแบบที่เป็น เครื่องดีด เครื่องสี เครื่องตี และเครื่องเป่า ทั้งหมดให้เสียงออกมาและมีลักษณะเฉพาะตัวซึ่งแตกต่างกันไป
            ดนตรีจึงเกี่ยวพันกับคณิตศาสตร์อยู่มากพอ  เพราะการที่มีเสียงปรากฏออกมา เสียงแต่ละตัวโน้ตผูกพันสร้างความไพเราะ จึงจำเป็นต้องมีหลักการและหารูปแบบที่เหมาะสม เช่นในปัจจุบันมีการสร้างฟอร์แมต MIDI ซึ่งทำให้ไมโครคอมพิวเตอร์สามารถสร้างเสียงดนตรีหลายชิ้น ประสานเสียงกันได้อย่างไพเราะ การสร้างเพลงหนึ่ง ๆ จึงขึ้นกับ จังหวะ และการวางตัวโน้ต,  โทน ตามตัวโน้ต  และการผสมประสานเสียง






จังหวะและการวางตัวโน้ต              จังหวะเป็นพื้นฐานของดนตรีที่กำหนดช่วงเวลา ซึ่งเกี่ยวพันกับคณิตศาสตร์โดยตรง เมื่อเราเล่นดนตรี เราจะต้องสร้างเสียงดนตรีให้ลงไปในช่วงจังหวะได้อย่างถูกต้อง
            จังหวะที่ใช้มีทั้งจังหวะช้า และเร็ว เพลงบางเพลงเมื่อเราฟังแล้วรู้สึกเย็นสบายผ่อนคลาย บางเพลงมีลักษณะเร่าร้อนสร้างอารมณ์ให้อยากเต้นรำ จังหวะจึงมีส่วนสำคัญในการสร้างความรู้สึกและอารมณ์
            เมื่อจังหวะเป็นหน่วยวัดเวลา การกำหนดจังหวะมีการใช้ตัวบอกจังหวะซึ่งเรียกว่า time signature
            time signature จะปรากฏอยู่ที่ตอนต้นของบรรทัดที่จะบอกว่าในแต่ละห้องแบ่งออกเป็นตัวโน้ตขนาด 1  ใน 4 ได้กี่ตัว เช่น

    หมายถึงมีตัวโน้ตแบบ 1 ใน 4 ได้ 3 ตัว       ถ้า       หมายถึงมีตัวโน้ต 1 ใน 4 ได้ 4 ตัว           ตัวโน้ตที่ใช้ใน time signature แบบ  แบ่งออกเป็น

ตัวกลม	มีความหมายที่ใช้เป็นสัดส่วนเต็มห้อง
ตัวขาว	มีความหมายที่ใช้เป็นสองตัวในหนึ่งห้อง  หรือครึ่งเสียงตัวกลม
ตัวดำ	มีขนาดเสียงลดลงครึ่งหนึ่งของตัวขาว   หรือเป็นตัวขนาด 1 ใน 4
ตัวขเบ็ดหนึ่งขึ้น	มีขนาดเสียงลดลงครึ่งหนึ่งของตัวดำ
ตัวขเบ็ดสองขึ้น	มีขนาดเสียงลดลงครึ่งหนึ่งของตัวขเบ็ดหนึ่งขึ้น

ชื่อตัวโน้ต	สัญลักษณ์ตัวโน้ต	การวัดสัดส่วน	จำนวนตัวโน้ต ที่อยู่ในห้องเสียง
ตัวกลม		1/1	1 = 20
ตัวขาว		1/2	2 = 21
ตัวดำ		1/4	4 = 22
ตัวขเบ็ดหนึ่งชั้น		1/8	8 = 23
ตัวขเบ็ดสองชั้น		1/16	16 = 24

            อย่างไรก็ตามมีการ กำหนดให้เสียงมีความยาวมากกว่าที่กำหนด เช่น

จุด  มีความหมายถึงครึ่งตัวโน้ตซึ่งตัวขาวเท่ากับ 1/2 ดังนั้น  จึงมีค่าเท่ากับ 1/2 + (1/2 x 1/2) = 3/4 โทนของตัวโน้ต              โทนคือความถี่ของการเปล่งเสียงของwbr>เครื่องwbr>ดนตรีนั้น ๆ ต่อความถี่จึงเป็นค่า พิทช์ (pitch) ซึ่งเกิดจากการสั่นของสายwbr>เครื่องwbr>ดนตรี ค่าความสั่นนี้วัดกันในหน่วย เฮิร์ทซ์ หรือจำนวนรอบต่อวินาที ถ้าให้ความยาวของสายที่ใช้สั่นเพิ่มขึ้นหนึ่งเท่าตัว จะทำให้พิทช์ลดลงมาหนึ่งอ็อกเตฟ  มาตรฐานของพิทช์ที่อยู่ตรงกลางใช้ที่ความถี่ 440 เฮิร์ทซ์  โทนจึงเป็นสิ่งที่ผู้ฟังบอกได้ว่าสูงหรือต่ำ             สำหรับคีย์บอร์ดเช่นเปียโน มีคีย์ทั้งหมด 88 คีย์  ซึ่งเป็นคีย์สีขาวและดำ รูปแบบของแป้นคีย์จะซ้ำทุก ๆ 12 คีย์ ซึ่งในชุด 12 คีย์นี้มีคีย์ขาว 7 คีย์ และดำ 5 คีย์  คีย์ขาว นี้มีชื่อ A ถึง G ส่วนคีย์ดำมีการเรียกว่า ชาร์ป () และ แฟลต (  ) เราจะใช้ชาร์ปเพื่อเราต้องการเพิ่มสเกล และใช้แฟลตเมื่อต้องการลดสเกลลง เช่น คีย์ระหว่าง F และ G มีคีย์ F ชาร์ป หรือ G แฟลต ขึ้นอยู่กับทิศทางที่ใช้ บางที่เราจะเห็นคีย์ขาวติดกับสองคีย์ และมีสองที่แตกต่างกัน คือ B และ C     E และ F เราสามารถเรียกชาร์ปและแฟลตได้ ดังตัวอย่างเช่น C แฟลต คือ B และ  B ชาร์ป คือ C             จากที่กล่าวแล้วว่าตรงกลางของ A คือความถี่ 440 Hz และเพื่อให้สเกลใช้งานได้เท่ากัน เราจึงใช้คณิตศาสตร์ทำการแบ่ง โดยใช้ตัวเลขคงที่ คือ 1.059463 เป็นตัวคูณ ชื่อโน้ต ความถี่ต่ำที่ใช้เป็นฐาน x ค่าคงที่ = ความถี่ที่ได้ A3 La 220.0 Hz A#3 = 220 x 1.059463 = 233.1 Hz B3 Ti = 233.1 x 1.059463 = 246.9 Hz C4 Do = 246.9 x 1.059463 = 261.6 Hz C#4 = 261.6 x 1.059463 = 277.2 Hz D4 Re = 277.2 x 1.059463 = 293.7 Hz D#4 = 293.7 x 1.059463 = 311.1 Hz E4 Mi = 311.1 x 1.059463 = 329.6 Hz F4 Fa = 329.6 x 1.059463 = 349.2 Hz F#4 = 349.2 x 1.059463 = 370.0 Hz G4 So = 370.0 x 1.059463 = 392.0 Hz G#4 = 392.0 x 1.059463 = 415.3 Hz A4 La = 415.3 x 1.059463    =       440.0 Hz             จากหลักการนี้ ทำให้ค่าสองค่าที่โคกันมีสัดส่วนคงที่  C#/C  มีค่า 1.0594630            และความถี่ที่ค่าของอ็อกเตฟกัน   A4/A3   มีค่า  440/220  =  2/1             จากที่กล่าวแล้วว่า ถ้าทำให้สายเครื่องดนตรีสั้นลงจะได้ความถี่สูงขึ้น  ดังนั้นในความถี่ที่ต่างอ็อกเตฟกัน จะมีอัตราส่วน 2:1  ซึ่งจะต้องทำให้ความยาวสายเป็นส่วนกลับคือ 1:2